高数下 十 3 (2)三重积分的计算

1. 三重积分的计算步骤:

1. 判断对称性和奇偶性 2. 包括轮换对称性
2. 考虑质心公式把单独变量提出去
3. 看看能不能换元为球面坐标或柱面坐标 2. child::高数下 十 3 (4) 球面坐标的三重积分计算 2. child::高数下 十 3 (3) 柱面坐标的三重积分计算
4. 看看用高斯公式转换为曲面积分好不好算 2. child::高斯公式
5. 看看把积分函数用先一后二还是先二后一

2. 三重积分的计算有两种方法/两种顺序:

1. 投影法(常用)(也称先一后二) 二重积分作为外层积分
2. 切面法(也称先二后一) 二重积分作为内层积分

3. 两种计算方法的共同点:

都是把三重积分化为两层积分嵌套, 被积函数都不变, 且都属于最内层积分

4. 三重积分的奇偶性:

1. 如果积分区域关于xoy对称

1. 若被积函数关于z为奇函数, 则积分为0
2. 若为偶函数, 则对称的两半积分相等

2. 助记:

先看积分区域关于什么对称, 缺那个坐标就看被积函数关于这个坐标是奇函数还是偶函数

5. 先一后二(投影法):

1. 梗概: 内层为一重, 外层为二重

2. 步骤:

1. 选取投影平面(可以投影到三个面)(以xoy为例)
   1. 投影面的法线最好只有两个交点, 要不然需要分段求三重积分
2. 确定内层积分: 一重积分
   1. 上下限: 分别为投影坐标(z)所相交的顶曲面和底曲面方程
      1. 注意: 曲面方程要去掉约束条件, 并以投影坐标(z)为因变量
   2. 微分元: 投影坐标(dz)
3. 确定外层积分: 二重积分
   1. 积分区域: 投影面
   2. 微分元: 投影平面(dxdy)

3. 实例:

3.1. 视频讲解:

(https://b23.tv/28IcWsq)

6. 先二后一(切面法):

1. 梗概: 内层为二重, 外层为一重

2. 步骤:

1. 选取横截面, 作为切割方向(以xoy为例)
2. 确定内层积分: 二重积分
   1. 积分区域: 横截面方程, 其含有垂直切割方向的坐标(z)
   2. 微分元: 切割方向(dxdy)
3. 确定外层积分: 一重积分
   1. 上下限: 横截面的移动上下限(z)
   2. 微分元: 移动范围(dz)