有向曲面的积分

第二类曲面积分

计算步骤:

1. 考虑轮换对称性和奇偶性
2. 尝试归一法
3. 考虑用高斯公式转换为三重积分好不好算
4. 尝试化为第一类曲面积分
5. 尝试投影法

做题经验:

1. 有向面积积分重点要看微分元少了那个 而不是看是哪两个

相关概念:

1. child::轮换对称性

2. 曲面分为两类:

1. 双侧曲面
2. 单侧曲面

3. 有向曲面:

定义:人为制定了方向的曲面 方向表示: 用法向量所指表示

4. 方向的分类:

侧的定义: 某一确定的方向类, 称为侧 可以分为四种类型: 前后侧 左右侧 上下侧 内外侧

4.1. 前后侧: 按x轴分为两类

前侧: cosα>0 (α为法向量与x轴的方向余弦) 后侧: cosα<0

4.2. 左右侧: 按y轴分为两类

右侧: cosβ>0 左侧: cosβ<0

4.3. 上下侧: 按z轴分为两类

上侧: cosγ>0 下侧: cosγ<0

4.4. 内外侧: 按封闭曲面的内外空间分类

5. 有向曲面的部分面积

5.1. 符号记法: ∆S

5.2. 部分面积的投影:

5.3.

6. 向量场:

有向曲面积分符号记法:

P,Q,R都叫被积函数, 但实际上是向量场的分量

1. 助记: 与不相关的坐标相乘, 如P是向量场A的x分量, 但与dydz相乘

有向积分的文字描述:

被积函数P在有向曲面Σ上对y,z的曲面积分

与无向曲面积分的区别:

两个特征:

1. 积分区域的曲面有无指明方向
2. 有向曲面微分元为dxdy, 无向曲面的微分元为dS

符合常识的运算规律:

1. 积分可加性
2. 正负与积分曲面的方向有关

性质:

1. 奇偶性:

1.1. 如果曲面关于xoy对称:

看dxdy的那个积分

1. 如果被积函数关于z为偶函数, 则为0,
2. 如果关于z为奇函数, 则原积分=2×对称的一半上的积分

1.2. 类似的, 如果曲面关于其他面对称, 则看对应的积分的被积函数

1.3. 直观理解:

因为积分曲面具有方向, 则对称的两半部分方向一定相反

1. 然后与奇函数的符号负负得正, 所以奇偶结论相反

2. 有向曲面积分与无向曲面积分的关系:

2.1. 助记: 曲面微分元分别在三个坐标面上投影

投影即乘上投影坐标的方向余弦

3. 投影性质

投影转二重积分法:

1. 前提条件:

1. 有向曲面按投影方向, 只能有一侧 2. 如果有多测, 则按积分可加性拆分

2. 步骤:

1. 只能往一个方向投:
2. 积分区域变为投影区域
3. 用积分曲面联立被积函数, 消去投影坐标(y)
4. 微分部分只改变符号
   1. 如果有向曲面方向与投影正方向相反, 则取负号, 否则为正号
   2. 对应有向曲线的微分元展开, 只不过投影自变量(x和y)的导数大小都恒为1

归一法:

利用两类曲面积分的关系,

1. 把有向积分中的dxdy,dxdz,dydz都化为其中的任意一个
2. 从而使得三个有向曲面积分可以合并为一个有向曲面积分