高数下十一 3 格林公式

相关概念:

1. 特殊曲线积分符号:

2. 连通区域:

child::连通区域

3. 边界曲线的正方向:

child::边界曲线的正方向

适用范围:

1. 作用:

二重积分 ⇐> 有向曲线积分

2. 前提条件:

1. 积分区域D要求:
   1. 为连通区域
   2. 由分段光滑的曲线L围成
2. 如P(x,y)和Q(x,y)在区域内都一阶可导

格林公式:

1. 说明:

1. 
2. P和Q是互相独立的函数

2. 助记:

1. x和y反过来, 即 P乘x ⇒ P除y
2. 二重积分中x导-y导
   1. x先
      1. 减y

在存在不可导点的区域中使用格林公式的方法:

1. 在原区域D中, 在所有不可导点处, 以该点为圆心, 选取无穷小的圆, 挖去该圆, 形成新区域D’
2. 则原区域D近似等于D’
3. D’就可以使用格林公式了 相当于在原区域D上用格林公式

格林公式的应用:

1. 从有向曲线积分转为二重积分

比较简单, 直接套格林公式进行转换

2. 从二重积分转为有向曲线积分

1. 一般令其中一个函数(P或Q)为0
2. 然后另一个函数的偏微分($P_x^{\prime }或Q_x^{\prime }$)就等于二重积分的被积函数
3. 求被积函数的原函数(P或Q)
4. 套格林公式进行转换

3. 求平面图形面积

child::求平面图形面积