高数下 十 3 (4) 球面坐标的三重积分计算

1. 相关概念:

1. 球面坐标:

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球面坐标

1. 定义:

1. 有三条轴:

x,y,z轴, 和直角坐标一样

2. 用三个坐标表示空间一点:

1. 到原点长度: r
2. 与z轴夹角: φ 逆时针为正
3. 投影与x轴夹角: θ 逆时针为正 投影在xoy平面上

3. 三个坐标的取值范围规定:

1. r∈[0,+∞]
2. φ∈[0,π]
3. θ∈[0,2π]

2. 符号记法:

到原点长度:r 与z轴夹角: φ 投影与x轴夹角: θ

3. 与直角坐标的转换:

1. x=rsinφcosθ
2. y=rsinφsinθ
3. z=rcosφ

4. 在球面坐标中的特殊图形:

1. r=常数 ⇒ 球面
2. φ=常数 ⇒ 圆锥面
3. θ=常数 ⇒ 半平面

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2. 适用范围:

被积函数包含z

1. 积分区域关于点对称

3. 直角坐标三重积分换元为球面坐标三重积分:

1. 坐标转换:

x=rsinφcosθ

1.1. 助记: 投影到xoy平面再投影到x轴

y=rsinφsinθ

1.2. 助记: 投影到xoy平面再投影到y轴

z=rcosφ

1.3. 助记: 直接投影到z轴

2. 体积元素展开:

dv=r²sinφdrdφdθ

2.1. 助记: 无缘无故多出 r²sinφ

3. 积分区域:

不变

4. 积分顺序:

由外到内: θ → φ → R