高数下 十 3 (3) 柱面坐标的三重积分计算

1. 梗概:

其实就是特殊的三重积分换元, 即

1. x=ρcosθ, y=ρsinθ, z=z
2. dv=ρdθdρdz
   1. 依然是多一个ρ
3. 积分区域不变
4. 积分顺序为先一后二
   1. z的一重积分作为内层
   2. 极坐标下的二重积分为外层

2. 适用范围:

1. 投影平面(一般为x,y的方程)图形适合用极坐标表示
2. 投影坐标(一般为z)可以作为显式因变量, 即可以单独写到等号一边

1. 常见使用场景:

1.1. 对于投影图形(设为xoy平面上)为椭圆的,

2.1.1.1. 换元套路:

1. x=aρcosθ, y=bρsinθ, z=z,
2. dv=abρdθdρdz,
3. 投影区域从椭圆变为圆

实例:

1. 视频讲解:

(https://b23.tv/Qsl2Ucc)