高数下十一 2 有向曲线的积分

对坐标的曲面积分 第二类曲线积分

1. 计算有向曲线积分的步骤:

1. 联立被积函数和积分区域方程, 试图化简
2. 判断是否与路径无关
   1. 如果与路径无关, 则把曲线变成与坐标轴平行的多段折线
      1. 然后分段计算, 再加起来
3. 判断使用格林公式会不会更简单
   1. 先把积分区域所围区域处理为处处可导(挖去不可导点)
   2. child::高数下十一 3 格林公式
4. 判断使用斯托克斯公式转曲面积分会不会简单些
   1. child::斯托克斯公式
5. 看看换元法

2. 符号记法:

类似的也可以对三维有向曲线积分

1. 特殊曲线积分符号:

3. 性质:

1. 符合常识的性质:

1. 常数可外提
2. 积分可分段
3. 上下限互换, 积分取相反数

2. 不符合常识的性质:

2.1. 曲线积分可能与路径无关

2.1.1. 前提条件:

1. 闭区域D为单连通区域
2. P(x,y)与Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数

2.1.2. 几个可互相推导(知一得三)的结论:

1. 区域D内任意分段光滑曲线L的有向曲线积分值与路径无关
   1. 由此还可推导出闭曲线的有向曲线积分值=0
2. 存在du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy , 即存在原函数

由此还可推导出有向曲线积分基本公式:

对A到B的任意曲线L:

3.

2.1.2.2. 助记: 即格林公式对应的二重积分=0

4. 计算方法:

1. 换元法

1. 需要把有向曲线写成参数方程, 作为换元方程
2. dy展开为对应换元函数一阶导数×dt
3. dx展开为对应换元函数一阶导数×dt
4. 被积函数进行换元
5. 积分区域变为换元后的上下限(要同步积分曲线的方向)

5. 有向曲线积分转换为无向曲线积分:

1. 助记:

分量乘上对应方向余弦, 然后dr转为dS

2. 说明:

cosα和cosβ即积分区域曲线在某一微分点上切线的两个方向余弦

2.1. 计算cosα和cosβ的函数:

助记:

1. 对应分量微分后再单位化