无穷级数

1. 任意级数的比值审敛法:

(图片丢失, 有空修补) 若l<1 原级数绝对收敛 若l>1 原级数发散 l=1时, 无法判断

1. 助记: 拿后一项比当前项, 再取绝对值

2. 判断敛散性:

1. 判断敛散性第一步: 猜

1.1. 具体猜法: 与已知的三个比较用级数比较看看, 是不是很相似, 一般相似敛散性也就相同

3. 注意:

无穷项(级数)不能随便更换顺序和加括号

4. 相关概念:

1. 绝对值级数: 对任意级数, 每项都取绝对值, 构成的新级数

2. 绝对收敛: 即绝对值级数收敛

3. 条件收敛: 即绝对值级数收敛, 但原级数却不收敛

5. 任意项级数的性质:

1. 绝对收敛 或 条件收敛⇒原级数收敛

1.1. 直观理解: 绝对值级数相对于原级数的收敛要求更苛刻

6. 无穷级数(简称级数):

1. 梗概: 无穷个数相加, 即${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$

2. 一般项/通项:

关于n的表达式, 即$u_n$

7. 部分和:

1. 梗概: 级数的前n项和

2. 符号记法: $S_n$

8. 级数与部分和的关系:

一一对应, 呈映射的关系, 它们是同时发散或收敛的

9. 部分和数列:

1. 梗概: n依次从1取到n, $S_n$构成的数列

2. 符号记法: {$S_n$}

3. 等比部分和数列的收敛性:

1. |q|<1⇒收敛
2. |q|>=1⇒发散

10. 余项:

1. 梗概: $r_n$=级数-$S_n$

2. 级数与部分和$S_n$的误差:

误差=$|r_n|=|S-S_n|$

11. 收敛级数的性质:

1. 级数可提常数:

新级数=k×级数 ⇒ k×级数和=新级数和 且前后级数同样收敛

2. 级数可加性:

新级数=级数a+级数b ⇐> 级数和a+级数和b=新级数和 且前后级数同样收敛

3. 级数可增减项:

级数增减有限项 ⇒ 新收敛级数

4. 收敛级数可分组性:

有限项个数为一组, 无限组求和 <!> 新的收敛级数, 且级数和不变 收敛级数 > 末项为0

12. 发散级数的性质:

1. 可提常数:

新发散级数=k×级数

13. 特殊的级数:

1. child::正项级数

2. 调和级数: 即${\sum }_{}^{}\frac{1}{n}$

2.1. 性质: 一定是发散的

3. P级数 即$\Sigma \frac{1}{n^p}$

3.1. 性质:

p⇐1 > 发散 p>1 > 收敛

3.2. 助记: 调和级数即p级数收敛与发散的边界

4. 等比级数: 即$\Sigma a{q}^{n-1}$

4.1. 等比级数和公式:

$S=\frac{u_1}{1-q}$

4.2. 性质:

|q|<1 >收敛 |q|≥1 > 发散