幂级数

1. 做题经验:

1. 求收敛半径经验:

1. 为防止出错, 求出ρ时要标出为ρ, 要不然容易直接当成R
2. 函数级数的幂函数通常以$(2x+1{)}^n$类似的形式出现, 需要换元为$t^n$

2. 求收敛域经验:

求出收敛区间后一定要判断端点是否收敛, 切勿直接当作收敛域

3. 求S(x)步骤:

1. 适当提公因式x或$x^2$或$x^{-1}$或$x^{-2}$, 以调整x的指数
2. 选择积分或求导把原级数化为$x^n$这种通项的级数 选择技巧: 通常原级数会带有n, 如果n在分子, 则积分之后多出1/n, 刚好消掉 如果n在分母, 则求导后多出n, 刚好消掉 如果必要, 有时还要求导两次再积分两次还原
3. 求出新级数的S(x)后, 把S(x)还原为原级数的S(x) 如前面做积分, 则求到这一步后要求导

2. 梗概:

即特殊的函数列, 在普通无穷级数(通项记作$a_n$)上, 每一项都乘上$(x-x_0{)}^n$, 其中$x_0$为一个常数 为了计算简便, 我们通常取$x_0$为0, 因为实际中如果$x_0$≠0, 则通常通过换元法令t=$(x-x_0)$, 可化为特殊形式 即幂级数的一般通项为$a_n(x-x_0{)}^n$ 常用的特殊形式为$a_n{x}^n$

3. 幂级数的系数:

1. 直观理解:

即原来的无穷级数(通项记作$a_n$)的对应项, 则系数$a_1...a_n$

4. 幂级数性质:

1. 和函数S(x)在I上是连续的

2. 每一项求导或积分后, 仍保持同样的收敛半径

但是x端点的收敛性可能会改变 其中积分区域为0到x, 这种积分再求导后就等于积分函数(以x为变量), 即原来的幂级数

5. 求收敛半径R/收敛区间的方法:

1. 系数比值法:

1.1. 适用范围:

1. 非奇数项和非偶数项

1.2. 梗概:

对${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{(n+1)}}{a_n}|=\rho$ 若ρ!=0, R=$\frac{1}{\rho }$ 若ρ=0, R=+∞, 若ρ=+∞, R=0

1.3. 直观理解:

(https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?p=145&t=100.2)

1.4. 助记:

拿后一项系数比当前项系数,记作ρ, 而$R=\frac{1}{\rho }$

2. 比值审敛法:

2.1. 适用范围:

1. 奇数项或偶数项

6. 求收敛域的方法:

求收敛半径R>收敛半径>把两个端点的x代入级数中验证是否收敛⇒ 收敛域

7. 求S(x):

唯一能求出S(x)的幂级数只有$x^n$ , S(x)等于等比级数和公式