函数展开为幂级数

1. 常见题型:

1. 典例: 将$\frac{1}{1+x}$展开为(x-1)的幂级数

1.1. 步骤梗概:

1. 将原函数变形, 凑成可使用间接展开的麦克劳林公式
   1. 先找到最相近的麦克劳林展开函数
   2. 想办法让原函数变成对应的麦克劳林函数, 并且要能够间接展开 本题将原式凑成$\frac{常数}{1+常数\times (x-1)}$
2. 将对(x-1)的收敛域传换成对x的收敛域

1.2. 操作示范:

将原式变为可间接展开的$\frac{常数}{1+常数\times (x-1)}$: $原式=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{\frac{1}{2}}{1+(\frac{x-1}{2})}$ , 此时可代入$\frac{1}{1+x}$中间接展开了 变换收敛域: $1<\frac{x-1}{2}<1$ ⇒ $-1<x<3$

4. 相关概念:

• child::泰勒级数
• child::麦克劳林级数
• child::泰勒展开式

5. 展开方法:

通常使用间接展开法

1. 间接展开法:

1.1. 实例:

将$e^{\frac{2}{x}}$展开: 把$\frac{2}{x}$替换x, 代入到$e^x$的麦克劳林展开公式中