麦克劳林展开公式

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泰勒展开式

即f(x)=f(x)所对应的泰勒级数

适用范围

前提是f(x)对应的泰勒级数必须是收敛的

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常见需记忆的三个基本麦克劳林展开式:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...(x\ne \infty )$

助记: 由麦克劳林级数公式得到, 其中$f^{(n)}(0)$≡1

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...(x\ne \infty )$

助记: 由麦克劳林级数得到, 其中$f^{(n)}(0)$以1,0,-1,0为一个周期

等比级数收敛公式:

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...(-1<x<1)$

等比级数间接收敛公式:

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^n{x}^n+...(-1<x<1)$

由三个基本公式推导而得的公式:

由三个基本麦克劳林展开公式经过求导或积分推导而得, 不用记忆, 但每个收敛域都是要单独记忆的

注意: 推导得到的公式, 需要重新考察端点

收敛域助记:

这五条公式中, 三条都是收敛域不变 ln(1+x)比原来多取右端点 arctanx比原来多取两端点

公式:

1. ln(1+x) = ${\int }_0^x\frac{1}{1+x}dx$ = $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+...(-1<x\le 1)$
2. cosx = ${\int }_0^{x}sinxdx$ = $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...(x\ne \infty )$
3. $a^x$ = $e^{xlna}$ = $1+xlna+x^2\frac{(lna{)}^2}{2!}+x^3\frac{(lna{)}^3}{3!}+...+x^n\frac{(lna{)}^n}{n!}+...(x\ne \infty )$
4. $\frac{1}{1+x^2}$ = 把x²代入$\frac{1}{1+x}$ = $1-x^2+x^4-x^6+x^8-...+(-1{)}^n{x}^{2n}+...(-1<x<1)$
5. arctanx = ${\int }_0^x\frac{1}{1+x^2}$ = … (-1≤x≤1)