高数下九 5 隐函数的偏导法则

1. 只有一条方程的情况下:

1.1. 设F(x,y)=0

1.1.1. 公式法：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

1.1.1.1. 直观理解:

1. 先要使等号右边为0
2. 有负号
3. 分子分母颠倒
4. y对x是一元函数,用微分

1.1.2. 沿用旧知识：

1. 等式两边同时进行某一变量(这里设为A)对某一变量(这里设为B)求导
2. 用复合函数的求导法则
   1. 根据原方程确定存在 A对B 的隐函数
      1. child::隐函数的确定规则
   2. 根据复合函数的求导法则, 对所有与B有关的变量(如上面隐函数揭示A与B有关)沿着路径求导
      1. child::高数下九 4 多元复合函数的偏微分

1.2. 设F(x,y,z)=0

1.2.1. 公式:

1.2.1.1. 助记:

1. 先使等号右边为0
2. 有负号
3. 分子分母颠倒
4. y对x是二元函数,用偏导

1.3. 隐函数的二阶求导:

1. 先求对应的一阶导数
2. 按照二阶求导公式二阶求导和二阶偏导

2. 方程组下隐函数的求导法则:

2.1. 相关概念:

1. child::隐函数的确定规则

2.2. 简单的隐函数方程组：

1. 根据隐函数的确定规则，确定能消去多少个变量
2. 根据需求，消去不需要的变量，变成一条方程
3. 用一条隐函数方程的求导法则

2.3. 复杂的隐函数方程组：

2.3.1. 根据规则方程组解与隐函数的关系

1. 可以确定一组隐函数
   1. 这组隐函数的自变量应该包含x
   2. 这组隐函数的因变量应该包含y和z

2.3.2. 这时每条方程都看作复合函数方程 (因为上面确定的一组隐函数)

2.3.3. 用复合函数求导法则对每条方程的两边同时对x求导

2.3.4.

2.3.5. 此时方程组可以用行列式来求所有未知数

1.