常系数二阶齐次线性微分方程

1. 常系数二阶齐次线性微分方程定义:

y”+py’+qy=0

2. 解法:

1. 步骤梗概:

1. 确定特征方程: 把y”替换为r², y’替换为r, y替换为1, 所以得到一个一元二次方程
2. 解特征方程, 得到两个根$r_1$与$r_2$ (包括虚根)
3. 根据两个根的情况选用不同的公式:
   1. 若两实数根不相等, 则通解为 $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
   2. 若两实数根相同, 则通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
   3. 若为两虚根, 则通解为 $y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$ 注意求出来的两个虚根为共轭复数α±βi 求虚根方法: 二元一次方程求根公式

2. 助记:

通解公式助记:

1. 都是e指数上顶着 根·x
2. 两根不等, 则两个e线性组合就行了
3. 两根相等, 则后面那个e多乘一个x
4. 为复数根
   1. 则e指数上顶着实部
   2. e乘上正弦与余弦的线性组合
   3. 三角函数内乘上虚部