牛顿迭代法

适用范围

• 近似求函数的根

梗概

设 $r$ 是 $f(x)=0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 的初始近似值，则我们可以过点 $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ )做曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$, 我们知道切线与 $x$ 轴有交点，我们已知切线 $L$ 的方程为
$L:y=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ 我们求的它与 $x$ 轴的交点为 $x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}$. 我们在以 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 斜率为 $f^{\prime }\left(x_1\right)$ 做斜线，求出与 $x$ 轴的交点，重复以上过程直到 $f\left(x_n\right)$ 无限接近于 0 即 可。其中第 $n$ 次的迭代公式为:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$$

图解