1. 做题经验:
1.1. 给定部分特征值, 求矩阵中的待定系数
用特征值相加与相乘的性质; 再加上特征方程, 联立求解
2. 求所有特征值及其对应的所有特征向量
2.1. 梗概
由特征方程可以解出特征值 由特征值代入定义式中可以求出特征向量
2.2. 快速确定特征行列式的方法:
2.2.1. 特征行列式的主对角线:
特征矩阵的主对角线都有λ,其他地方都没有λ 且为λ-(主对角线上的对应元素)
2.2.2. 其余元素:
其他元素都取原来的相反数
2.3. 求特征值λ的方法:
2.3.1. 把矩阵化为上三角矩阵:
λ分别等于对角线线上的元素
2.3.2. 通过特征方程解出λ:
2.3.2.1. 梗概:都是想办法把行列式展开为 一次×二次
2.3.2.2. 具体方法:
2.3.2.2.1. 把矩阵中的元素尽可能化为零, 把这行展开(⭐)
这样就可以把一个λ提出去, 剩下的二阶行列式展开就是一个二次方程了
2.3.2.2.2. 争取把某一行的λ直接提出去(⭐)
2.3.2.2.3. 直接按行展开(非常少用)
得到三次方程, 把该三次方程化为一次×二次
2.3.3. 特殊条件下的方法:
2.3.3.1. 给类似于特征方程的方程
则可以通过行列式的提常数把原方程变为特征行列式
如原方程: |E+2A|=0 我们要把原方程变成: |λE-A|=0
原方程 ⇒ 故λ=
2.4. 已知特征值λ求特征向量α的方法:
- 代入定义式中, 特征矩阵即系数矩阵,
- 解齐次方程组, 得到的基础解系即为所有特征向量α的基础解系(注意:求出为0的特征向量要舍去)
3. 特征值/特征根,特征向量:
3.1. 直观理解(几何意义):
对于一个表示线性变换的矩阵A
3.1.1. 特征向量:
一些特殊的向量, 一个变换前空间中的非零向量, 变换前后依然共线 每个特征向量必定对应一个特征值
注意特征向量不能为0, 这样没有研究意义
3.1.2. 特征值:
描述特征向量的信息, 表示这个特征向量在变换前后伸缩的比例
3.1.3. 视频讲解:
(https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=14&t=159.5)
3.2. 定义:
对n阶方阵, 存在λ, 和非零列向量α, 使得Aα=λα 则λ为特征值 λ所对应的α为特征向量
3.3. 说明:
- 特征向量是相对于某一λ而言的, 一般不会单独说某个特征向量的
- λ可以为0, 特征向量不能为0
3.4. 多重特征值/根:
梗概: 即 , 则称这些特征根为三重特征根
3.4.1. 性质:
- 三重特征根, 则该特征根最多对应3个特征向量, 至少对应1个特征向量
4. 特征矩阵,特征行列式,特征方程:
4.1. 梗概:
都是由特征值的定义式整理得到的
4.2. 求特征向量的定义式(齐次线性方程)⭐: (λE-A)α=0
4.3. 特征矩阵: λE-A
4.4. 特征行列式: |λE-A|
4.5. 特征方程: |λE-A|=0
因为特征向量≠0, 所以(λE-A)变换必须压缩空间
5. 特征向量与特征值的性质:
5.1. 符合直觉的性质:
5.1.1. λ一对多个α
即cα也是λ对应的特征向量
5.1.2. 两个特征向量可以线性组合出另一个特征向
5.1.3. 矩阵数乘, 幂运算, 相加减, 取逆, 则特征值也做同等运算
5.1.4. 的λ == A的λ(两星重要⭐)
5.1.5. 局部无关特征向量总体也无关:
对若干个互不相同的特征值, 每个特征值所对应的特征向量可能有多个 都从中取几个(可以取一个,则必定无关)线性无关的特征向量 则这若干组特征向量合起来也是线性无关的
5.1.6. 单位矩阵特征值都为1
5.1.7. 不是所有变换都具有特征向量和特征根
如旋转90°, 每个非零向量都会离开原来的方向
5.2. 不符合直觉的性质:
5.2.1. n阶矩阵具有n个特征根, 但有可能特征根重叠
5.2.2. 所有特征值λ之和与乘积(⭐):
相加为主对角线元素之和, 相乘为矩阵行列式|A|
5.2.3. 伴随矩阵(A*)的特征值
A星 展开为|A| ⇒ 特征值取逆, 再数乘|A| 就是的特征值λ
5.2.4. |A|=0 ⇒ A存在为0的特征值(⭐)
5.2.4.1. 直观理解:
如果变换将空间压缩, 则肯定有向量被压缩成零向量, 而零向量与任何向量都共线