正态分布区间估计参数

适用范围：

• 正态分布

梗概：

• 给出一推正态分布的样本, 用这些样本来估计μ或α在某一区间上的概率

1. 估计μ

1.1. 当σ未知时

$\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{\mathrm{t}}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{\mathrm{t}}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\right)$

1.2. 当σ已知时

$\left(\overline{\bar{\mathrm{X}}}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{\bar{\mathrm{X}}}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}}\right)$

2. 估计σ

$\left(\frac{\sqrt{n-1}\times S}{\sqrt{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)}},\frac{\sqrt{n-1}\times S}{\sqrt{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)}}\right)$

3. 说明:

• $t_{?}(?)$ 和 $z_{?}$ 和 ${\chi }_{?}(?)$ 都是通过查表得到
• 以上区间的置信水平都是1-α
  • 也就是说, α是由目标置信度求得的
    • 例如: 求置信水平为0.95的置信区间, 则α为0.05
• n为样本数量
• s为标准差
• $\bar{X}$为样本平均值

例题