已知随机变量关系求其他概率密度函数

题型:

已知:

• 一个随机变量X与另一个随机变量Y的关系
• $f_X(x)$ 求$f_Y(y)$

注意:

• 凡是概率密度函数, 都是不能直接通过换元法得到

对于一维随机变量

常用的有两种解法:

1. 通用解法

• 先根据X的概率密度函数求出Y的分布函数, 再对Y的分布函数求导即可

2. 单调公式法

2.1. 前提条件

• 在$f_X(x)\ne 0$的区间内, Y=g(X)是单调函数

2.2. 过程:

• f_Y(y)=$$f_X(x) 所有取值× $|\frac{dx}{dy}|$
  • 根据 X 与 Y 的关系式, 得到 x 与 y 的关系式, 计算 $\frac{dx}{dy}$
  • 根据 X 与 Y 的关系式, 将关于x定义域换成关于 y 的

对于二维随机变量

只能使用公式法, 且每个公式只适用于特定的关系

• 已知f(x,y), 根据Z的关系, 求$f_Z(z)$

1. Z=X+Y

• 公式: $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$
  • 助记:
  • 把f(x,y)的y换元为z和x的式子, 即为f(x,z-x)
  • 对没换元的x进行边缘化处理

1.1. 例题

2. Z=X/Y

• 公式: $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(yz,y)\cdot |y|dy$
  • 助记:
  • 把 f (x, y) 的 x换元为y 和 z 的式子, 即为 f (yz,y)
  • 对没还原的y进行边缘化处理

2.1. 例题

3. 注意:

• 换元f(x,y)中的x或y时, 对于得到的换元函数(如f(x,z-x)), 同一个取值有两个不同的取值范围, 需要对这两个取值范围进行合并(即取并集)
  • 其中一个取值范围的边界由z决定
  • 想要合并这两个定义域, 就要对z进行分类讨论, 从而得到了$f_Z(z)$关于z不同的取值范围