一元线性回归

梗概

• 一元线性回归方程的模型为: $Y=\hat{a}+\hat{b}X$
  • 式中的$\hat{a}和\hat{b}$都是根据实际数据求得的常数
  • 将想要预测得X代入该式子, 就可得到对应的Y值
• 描述一元线性回归方程模型性质的相关量:
  • 回归模型方差：$\widehat{{\sigma }^2}$
  • 回归效果的显著性
  • $\hat{b}$的置信区间

求回归模型参数

• $\hat{b}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
  • $S_{xy}=(x_1{y}_1+...+x_n{y}_n)-\frac{(x_1+...+x_n)(y_1+...+y_n)}{n}$
  • $S_{xx}=(x_1^2+...+x_n^2)-\frac{(x_1+...+x_n{)}^2}{n}$
• $\bar{Y}=\hat{a}+\hat{b}\bar{X}$
  • 移项, 可求出$\hat{a}$
• $\widehat{{\sigma }^2}=\frac{S_{yy}-\hat{b}{S}_{xy}}{n-2}$
  • $S_{yy}=(y_1^2+...+y_n^2)-\frac{(y_1+...+y_n{)}^2}{n}$
• 回归效果显著性: 如果$\frac{|\hat{b}|}{\hat{\sigma }}\sqrt[]{S_{xx}}\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n-2)$, 则效果显著
  • $t_{?}(?)$通过查表获得
  • α为显著性水平
• $\hat{b}$的置信区间为$(\hat{b}-t_{\frac{\alpha }{2}}(n-2)\frac{\hat{\sigma }}{S_{xx}},\hat{b}+t_{\frac{\alpha }{2}}(n-2)\frac{\hat{\sigma }}{S_{xx}})$
  • 助记: 回归效果显著性移项到右边, 然后$S_{xx}$去掉根号

例题