高数下十 4 三重积分的应用

1. 求曲面面积:

1.1. 说明:

1. 这里以xoy方向为例, 也可以投影到其他方向
2. f为曲面函数: z=f(x,y)
3. D为曲面在xy平面上的投影

2. 求规则立体的表面积:

1. 把按对称原则, 分成若干个小块, 其表面积也分成若干个容易计算的小块
2. 算出一个对称分割体中的所有表面积小块
3. 根据对称性, 得到整个立体的表面积

3. 求平面质心:

3.1. 对密度不均匀的平面

3.1.1. 说明:

1. D为平面的区域
2. μ(x,y)为密度随空间分布的函数

3.1.2. 助记:

x平均值=(所有点的x乘上该点质量的权重之和)/总质量

3.2. 对密度均匀的平面:

4. 求平面转动惯量:

4.1. 说明:

1. D为该平面的区域
2. μ(x,y)为密度随空间分布的函数

5. 求立体对点的万有引力:

5.1. 说明:

1. ρ(x,y,z)为密度随空间的分布函数
2. Ω表示该立体区域

5.2. 助记:

把万有引力分为三个分力, 然后分别积分