高数下九 6 (3) 曲面的切平面与法线

实例:

1. 说明:

1. 构造四维函数方程F(x,y,z)=0 2. 这样才能发挥梯度的几何意义

1. 相关概念:

1. 曲面的法向量:

1.1. 求法向量:

1.1.1.1. 使用梯度的几何意义:

详见梯度

1.1.1.2. 对曲面上一点

(⭐)该点的每个坐标的偏导数 = 梯度对应坐标 = 法向量的对应坐标

2. 切平面:

1. 直观理解:

曲面某一点的切线有无数条, 其构成一个平面, 称为切平面

3. 求曲面的切平面和法线方程:

1. 基本模型:

1.1. 设有曲面: F(x,y,z)=0

3.1.1.1. 求法线方程:

1. 求曲面法向量
   1. 对曲面上一点
      1. 该点的每个偏导数=法向量的对应坐标
2. 通过对称式求法线方程

3.1.1.2. 求切平面方程:

1. 求曲面法向量
   1. 通过梯度的几何意义求
2. 通过点法式求切平面

2. 常见模型:

2.1. 设有平面方程: z=f(x,y)

进行移项变成0=f(x,y)-z 则变成第一种模型, 按部就班即可