极坐标二重积分的计算

实例:

1. 视频讲解:

(https://b23.tv/em9VExI)

2. 图片讲解:

1. 适用范围:

1. 对积分区域:

1. 圆
2. 圆环
3. 扇形

2. 对被积函数:

1. f(x²+y²)
2. f(x/y)
3. f(y/x)
4. 其他能消掉ρ或θ的特殊函数形式

2. 梗概:

计算极坐标二重积分即特殊的二重积分换元法 即

1. 换元直角坐标二重积分的所有x和y x=ρcosθ y=ρsinθ
2. 按极坐标展开单位面积 dσ=ρdθdρ(⭐)
3. 里层积长度ρ, 外层积角度θ

3. 详细步骤:

1. 画出积分区域
2. 把所有的x和y都换元
3. 确定角度θ上下限, 作为外层积分
4. 确定曲线(以ρ为因变量)上下限, 作为里层积分
   1. 离原点远的为上限, 近的为下限

4. 注意点:

1. 展开单位面积dσ时, 不要漏掉ρ
2. 换掉所有的x和y
3. 极坐标二重积分只有一种顺序,
   1. 即外层角度θ, 里层ρ(通常是两条曲线包围)