常系数二阶非齐次线性微分方程

1. 梗概:

常系数非齐次微分方程的一般形式: y”+py’+qy=f(x)

目前只有两种类型可以解出来:

1. 类型一: $f(x)=e^{\lambda x}\cdot P_m(x)$
   1. 其中λ是一个常数, $P_m(x)$ 是一个m次 多项式
2. 类型二: $f(x)=e^{\lambda x}\cdot [P_l(x)Cos\omega x+P_n(x)Sin\omega x]$
   1. 其中λ和ω为常数, $P_l(x)$, $P_n(x)$ 分别是一个 $l$ 次和n次多项式
3. 类型三: $f(x)=类型一+类型二$

0.1. 类型助记:

1. 类型一与类型二都有$e^{\lambda x}$
2. 类型一与类型二区别就在于多项式
3. 类型二的特征就是有三角函数

2. 线性非齐次方程的性质:

1. 非齐次方程解的叠加性:

对两个相似的非齐次方程 (指的是等号左边相同, 右边不同) 这两条相似方程对应一条叠加方程, 即等号左边不动, 等号右边相加

则对应叠加方程的特解也是两方程的特解相加

3. 求通解:

通解=对应齐次方程的通解+特解

4. 求特解:

1. 相关概念:

1.1. 非齐次微分方程的特征方程:

就等于对应齐次微分方程的特征方程

1.2. 特征根:

即特征方程的根

2. 原理:

这种类型的方程求特解的原理是待定系数法 比较系数法

3. 助记:

3.1. 特解 $y^{\ast }$ 公式助记:

1. 两种类型的公式都是由三部分组成
2. 两种类型两部分都是相同的, 即 $e^{\lambda x}\cdot x^k$
3. 两种类型的公式种都有待定多项式
   1. 多项式都与各自类型f(x)中的多项式类型一样
   2. 多项式的次数都是f(x)中多项式的最高次

4. 步骤梗概:

4.1. 对第一种类型:

4.4.1.1. 视频讲解:

https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks?p=49&t=611.6

4.4.1.2. 文字描述:

1. 确定k (后面会用到): $k=\{\begin{array}{c}0,\lambda 不是特征根\\ 1,\lambda 是单特征根\\ 2,\lambda 是二重特征根\end{array}$
2. 确定 $Q_m(x)$ : $Q_m(x)$ 是一个待定的m次 多项式, 与 $P_m(x)$ 的最高次数相等
3. 假设特解 $y^{\ast }$ 为三个部分的乘积, 分别为 $x^k\cdot e^{\lambda x}\cdot Q_m(x)$
4. 将 $y^{\ast }$ 代入原方程, 比较系数 (待定系数法 比较系数法), 产生新的方程, 求解即可

4.4.1.2.1. 技巧公式:

对第一种类型, 将 $y^{\ast }$ 代入原方程计算时有一个技巧公式: 代入原方程之后:

1. 若λ为单特征根, 则满足 $Q"+(2\lambda +P)Q^{\prime }=P_m(x)$
2. 若λ是二重特征根时, 满足: $Q"=P_m(x)$ 其中 $P_m(x)$ 为特解中两部分的乘积: $Q(x)=x^k\cdot Q_m(x)$ 利用以上公式就可以简单地计算出待定系数, 而不用直接代入到原方程中

4.2. 对类型二:

4.4.2.1. 视频讲解:

https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks?p=49&t=2796.8

4.4.2.2. 文字描述:

1. 确定k (后面会用到): $k=\{\begin{array}{c}0,如果\lambda +i\omega 不是特征根\\ 1,如果\lambda +i\omega 是特征根\end{array}$
2. 确定 $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ : $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ 分别是两个待定m次多项式, m取l与n的较大者
3. 假设特解 $y^{\ast }$ 等于三部分乘积, 即 $y\ast =x^k\cdot e^{\lambda x}\cdot [Q_1(x)Cos\omega x+Q_2(x)Sin\omega x]$
4. 将$y^{\ast }$代入原方程, 比较系数, 产生新的方程, 解出待定系数即可

4.3. 对类型三:

1. 分别求出类型一与类型二的特解
2. 根据非齐次微分方程特解的叠加性质, 把两个特解加起来即可

5. 实例:

5.1. 对类型一:

https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks?p=49&t=2058.1

5.2. 对类型二:

https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks?p=49&t=4091.8