可降阶的高阶微分方程

1. 梗概:

绝大部分高阶微分方程都解不出来, 只有少数的可以解, 其中一部分就是可降阶高阶微分方程

2. 可降阶的高阶微分方程:

可降阶高阶微分方程有三种类型:

1. $y^{(n)}=f(x)$
2. $y"=f(x,y^{\prime })$
   1. 直观理解: 有y”, y’ , x 但是缺少y
3. $y"=f(y,y^{\prime })$
   1. 直观理解: 有y”,y’,y 但就少x

3. 可降阶的高阶微分方程的解法:

1. 对$y^{(n)}=f(x)$:

1. 两边不停地求不定积分

2. 对$y"=f(x,y^{\prime })$:

2.1. 解法:

1. 做换元, 令y’=P, y”=P’
   1. 直观理解: 用P来充当缺失的y
2. 换元后变成可分离变量微分方程, 解出P的通解
3. 解出P的通解后还原为y的通解
   1. 还原的时候即再求一次可分离变量微分方程

3. 对 $y"=f(y,y^{\prime })$ :

3.1. 解法:

1. 做以下换元: y’=P , y”= $P\frac{dP}{dy}$
   1. 直观理解: 用y来充当缺失的x, 用P来代替y, 所以要用P与dy来表示y”
   2. 即 $y"=\frac{dP}{dx}=\frac{dP}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dP}{dy}\cdot P$
2. 换元后会变成可分离变量微分方程, 解出P的通解
3. 解出来P的通解后, 要把P还原为y
   1. 还原的时候即把y’=P代入P的通解中, 再解一次简单的可分离变量微分方程