两个变量之比的变化趋势

1. 问题描述:

设有原始分子分母之比和分子分母增量后之比: $y_1=\frac{A}{B},y_2=\frac{A+a}{B+b}(a和b有确定的数量关系)$

1. 问题是
   1. 在 a, b 影响下(A和B为常数), $y_2$ 的大致变化趋势是怎样的
   2. 判断在 A, B, a, b 影响下, y 前后的变化, 即 $y_2$ 与 $y_1$ 的大小关系

2. 公式判断$y$前后变化法:

1. 在此只探讨 A, B, a, b 对 $y_2-y_1$ 正负的影响
2. 由 $y_2-y_1$ 推出的公式 $\frac{aB-Ab}{B(b+B)}$ 计算得
   1. 结果大于零,则分子分母增量后比原来大
   2. 结果小于零,则分子分母增量后比原来小
   3. 结果等于零,则分子分母增量后不变

3. 描绘图像判断$y_2$变化趋势法:

因为$y_2=\frac{A+a}{B+b}(a和b有确定的数量关系)$,且 所以可以令 $b=na$ (n 为常数) 则$y_2=\frac{A+a}{B+na}$ 又因为A和B可以看作常数 则通过分离常数法可以把 $y_2$ 化成 $\pm 1$ 加上一个反比例函数 然后实际问题实际分析,就可以得到$y_2$的几个重要性质

1. 竖直渐近线,确定特定区间的界限
2. $y_2$ 最终趋向于+1或-1
3. 特定区间的单调性 根据$y_2$的图像性质,就可以知道$y_2$相对于$y_1$的大小关系以及$y_2$的变化趋势

4. 特定情况下的直观判断

4.1. 特定条件

能直观感受出来的只有

1. 当 $y_2$ 为正数 (A 和 B 同号) 的时候
2. a=b (异号比较好判断, 在此略过)

4.2. 直观判断

1. 如果a,b为正数,则$y_2$趋势是接近1
   1. 而 $y_2$ 相较于 $y_1$
      1. 如果$y_1$大于1,则$y_2$变小
      2. 如果$y_1$小于1,则$y_2$变大
2. 如果a,b为负数,则$y_2$趋势是接近1
   1. 而$y_2$相较于$y_1$
      1. 如果$y_1$大于1,则$y_2$变大
      2. 如果$y_1$小于1,则$y_2$变小